타원 x²/9+y²/4=1 위에 네 꼭짓점이 놓인 직사각형의 중심이 원점이라고 한다. 그 직사각형의 변이 좌표축에 평행해야 하는가?
인접한 두 변 방향의 절반을 u=(p,q),v=(r,s)로 두면 꼭짓점은 u+v,u−v,−u+v,−u−v다. 두 벡터는 영벡터가 아니고 직각이므로 pr+qs=0이다.
u+v,u−v가 모두 타원 위인 식을 빼면
두 식에서 pr=qs=0이다. p가0이 아니면 r=0, v가 영벡터가 아니므로 s≠0, 따라서 q=0이다. u는 가로, v는 세로 방향이다. p=0이면 u가 영벡터가 아니므로 q≠0, s=0이고 r≠0이어서 방향이 반대다.
따라서 두 변은 좌표축에 평행하다. 직각 조건만으로 이 결론을 얻은 것이 아니다. 네 꼭짓점의 타원 조건과 서로 수직인 두 변 조건을 동시에 사용했다.
교사는 넓이를 구하기 전에 직사각형을 마음대로 회전해도 꼭짓점이 타원 위에 남는지 확인한다. 여기서는 가로·세로 방향에 대한 타원의 방정식의 분모9,4가 달라 회전 방향의 자유가 없다.
분모가 모두9인 원에서는 첫 식이 (pr+qs)/9=0으로 둘째 식과 같은 정보다. pr=qs=0을 따로 얻지 못하며 직사각형을 회전시킬 수 있다. 원에서 가능한 그림을 타원에 그대로 옮기지 않는 이유다.
중심이 원점이라는 조건은 꼭짓점을 ±u±v로 적을 때 썼다. 그 조건을 지운 문항까지 이 풀이만으로 처리했다고 말하지 않는다. 변의 길이가0인 경우도 직사각형에서 제외한 전제를 유지한다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Conic Sections Foldable」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.