X,Y는0~20분에서 독립적으로 균등한 도착 시각이다. 두 사람은 먼저 온 뒤5분 기다린다. M은 만남, E는 두 사람 모두10분 이내에 온 사건이다. 다음 두 값을 구하라.
두 사람이 모두 일찍 온 결과는0≤X,Y≤10인 작은 정사각형이다. 그 안에서 만남 조건 |X−Y|≤5를 만족하는 넓이는100에서 직각변5인 삼각형 두 개의 넓이를 뺀75이다.
첫 질문은 전체 날 가운데 둘 다 일찍 와서 만난 날을 묻는다. 둘째는 둘 다 일찍 온 날만 남겨 놓고 만난 비율을 묻는다. 분자는 같은75이지만 비교하는 전체 영역이 다르다.
E의 확률은100/400=1/4다. 조건부확률의 정의로3/16을1/4로 나누어도3/4가 나온다. 작은 정사각형을 칠한 그림과 분모를 바꾸는 식이 같은 답을 설명하는지 확인한다.
교사는 “10분 이내에 만나기”라는 표현으로 이 두 질문을 대신하지 않는다. 둘 다10분까지 도착한다는 조건인지, 전체 가운데 그 조건과 만남이 함께 일어나는지 문항에 적어야 한다. 조건 문장이 생략되면 학생이 다른 분모로도 자연스러운 답을 만들 수 있다.
전체에서 만남만 구하면7/16이다. 이 값도3/16이나3/4와 다르므로 세 사건의 이름을 함께 적고 답의 대상이 정확한지 살핀다.
조건부확률의 분모는 사건 E의 확률이며0이 아니다. 먼저 E가 가능한 사건인지 확인한 뒤 나눗셈을 쓰는 순서도 함께 남긴다.
출처·착안: Allan Rossman, 「Random rendezvous, part 2」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.