가능한 f를 모두 구하라. f′가 연속이라는 가정은 없으므로 정수 기울기를 갑자기 바꿀 수 있다는 답을 검토한다.
두 입력 a<b에서 도함수값이 다르다고 하자. 두 정수 사이의 정수가 아닌 실수 m을 고른다. f′(a)<m<f′(b)이면 H=f−mx는 왼쪽 끝에서 도함수가 음수, 오른쪽 끝에서 양수다.
H는 연속이므로 닫힌 구간의 최소를 얻고, 두 끝에서는 그 최소를 얻지 못한다. 내부 최소점 c에서 H′(c)=0이므로 f′(c)=m이다. 두 끝의 부호가 반대 순서면 같은 논리를 최대로 적용한다. 어느 쪽도 정수 조건에 어긋난다.
따라서 f′는 한 정수 k로 일정하고 평균값의 정리로 f−kx도 일정하다. 이런 함수는 실제 조건에 맞는다. 도함수의 연속을 가정한 풀이를 쓰지 않고, 원래 함수의 연속과 내부 극값에서의 미분계수로 중간 값을 강제한다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Reading the Derivative’s Graph」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.