좌표가 (x,y)이고 x,y가 각각0,1,2 중 하나인9개 점에서 세 점을 고른다. 삼각형은 몇 개 만들어지는가? 세 점의 순서는 구별하지 않는다.
84는 세 점을 고른 경우의 수다. 일직선 위의 세 점은 삼각형을 만들지 않으므로 빼야 한다. 가로 줄3개, 세로 줄3개, 두 대각선 줄2개에서 각각 한 쌍의 세 점이 나온다.
여기서 제외한8개의 세 점 집합은 서로 다르다. 두 직선이 한 점에서 만날 수는 있어도 세 점 집합 전체가 같지 않으므로 중복으로 빼는 일은 없다.
다른 일직선 세 점이 없다는 설명도 필요하다. 같은 x좌표가 아닌 세 점이라면 x좌표가0,1,2를 한 번씩 사용해야 한다. 일직선 조건에서 가운데 점의 y좌표는 양 끝 y좌표의 평균이다. 가능한 세 y값은 모두 같거나0,1,2의 순서 또는 그 역순뿐이다. 따라서 가로3개와 대각선2개만 남는다.
교사는 가로·세로만 빼서78이라고 쓴 답에서 대각선 두 줄을 추가하게 한다.84라고 쓴 답에는 세 점이 삼각형이 되는 조건을 먼저 묻는다. 조합 계산의 실수와 도형 조건의 누락은 수정할 지점이 다르다.
문항 그림에 대각선을 미리 그려 주면 제외할 경우를 쉽게 발견할 수 있다. 점만 제시하는 문항과 보조선이 있는 문항을 구별하여, 학생이 전체 목록을 스스로 만들었는지 확인한다.
출처·착안: Colleen Young, 「Systematic Listing Strategies」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.