앞면 수가 짝수일 확률1/2인데 증명도 맞을까

공정한 동전을 독립적으로 네 번 던진다. 앞면 수가 짝수일 확률이1/2이라는 답에 다음 증명이 붙었다. “모든 앞면·뒷면을 바꾸면 짝수 기록이 홀수 기록과 짝지어진다.” 증명의 오류를 고쳐라.

모든 결과를 바꾸면 앞면 수 k가4−k로 바뀐다. k와4−k는 같은 홀짝이다.

따라서 제시한 대응은 짝수 기록 안에서 다른 짝수 기록을 만들 뿐 홀수 기록과 짝짓지 않는다. 답1/2이 맞다는 사실이 이 증명까지 맞게 하지 않는다.

첫 번째 동전의 결과만 바꾸면 앞면 수가 정확히1만큼 늘거나 줄어 홀짝이 바뀐다. 같은 조작을 한 번 더 하면 원래 기록으로 돌아가므로 짝수 기록과 홀수 기록을 빠짐없이 일대일로 연결한다.

네 번의 독립 공정 시행에서16개 기록은 같은 확률이다. 따라서 짝수·홀수 기록의 개수가 각각8개이고 확률은1/2다. 직접 계산도(1+6+1)/16=1/2로 확인한다.

교사는 수치가 같은 답과 논리가 맞는 답을 구별한다. 잘못된 대응이라도 최종 숫자가 우연히 맞을 수 있다. 실제 기록 하나가 어느 집단으로 옮겨졌는지 확인하는 질문이 필요하다.

던짐 횟수가 홀수이면 모든 결과를 바꾸는 방법도 홀짝을 바꾸지만 네 번에는 그렇지 않다. 반면 첫 결과 하나만 바꾸는 방법은 양의 어떤 던짐 횟수에도 적용된다. 적용 조건이 적은 증명과 특정 경우의 증명을 비교할 수 있다.

출처·착안: Mark Chubb, 「Central Tendencies Puzzles」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.