x=0에서 f,f′,f″의 부호를 각각 + 또는 −로 정한다. 예를 들어 (+,−,+)는 함수값은 양수, 기울기는 음수, 이계도함수는 양수라는 뜻이다. 여덟 조합이 모두 가능한가?
각 원하는 부호를 s₀,s₁,s₂∈{−1,1}로 놓고 f(x)=s₀+s₁x+(s₂/2)x²를 만든다. 그러면 f(0)=s₀, f′(0)=s₁, f″(0)=s₂다. 선택한 세 부호가 그대로 실현되므로 여덟 조합 모두 가능하다. 예를 들어 1−x+x²/2는 (+,−,+)를 만든다.
한 점에서만 억지로 맞춘 것도 아니다. |x|<1/4에서 |s₁x+(s₂/2)x²|<9/32<1이므로 f의 부호는 s₀ 그대로다. f′=s₁+s₂x는 원래 ±1에서 1/4보다 작게 변하므로 부호가 s₁이다. f″=s₂는 일정하다.
교사 질문은 ‘f>0이라는 정보로 증가 여부를 결정할 수 있는가’다. 높이의 부호와 기울기의 부호는 다른 열이다. 다만 f′의 부호는 그 구간에서 f의 증가·감소와 연결된다. 세 열의 정보를 아무 관계 없이 읽자는 뜻이 아니라, 서로 다른 대상을 나타내는 부호를 섞지 말자는 진단이다.
착안한 공개 원문: Functions and Rates of Change. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.