A=(0,0,0),B=(3,0,0),C=(0,3,0)이고 직선 l의 점은(2,2,t), t는 모든 실수다. l이 삼각형 ABC를 통과하는지 확인하라.
삼각형이 놓인 평면과 교점이 있으니 통과한다는 답을 검토한다.
삼각형의 점은 x≥0,y≥0,x+y≤3,z=0이다. 교점(2,2,0)은 x+y=4여서 삼각형 밖이다. 직선은 평면을 만나지만 삼각형은 만나지 않는다.
평면과 그 위의 작은 도형
삼각형은 평면 z=0 전체가 아니다. 변 AB,AC 쪽의 부등식은 교점이 만족하지만 변 BC 쪽의 x+y≤3을 만족하지 못한다. 점 하나가 두 조건을 만족했다고 나머지 조건을 생략하지 않는다.
l을(1,1,t)로 바꾸면 교점(1,1,0)은 모든 부등식을 만족하고 내부를 지난다. (1,2,t)라면 교점이 BC 위라 경계를 지난다. 내부만 통과라고 부를지 경계 접촉도 포함할지 문항에서 정하면 두 답을 구별할 수 있다.
교사는 계산된 교점 좌표를 정답의 끝으로 두지 않는다. 대상이 무한한 평면인지 세 변으로 둘러싸인 삼각형인지 읽게 한 뒤, 교점이 실제 대상 안에 있는지 다시 묻게 한다.
공간 그림에서는 평면을 작은 삼각형처럼 그려 놓기 쉬워 두 대상을 혼동할 수 있다. 그림의 크기만으로 결정하지 않고 삼각형 꼭짓점과 세 경계의 식을 사용한다. 이 예의 선은 평면에 수직이지만 수직이라는 방향 조건도 삼각형 내부 교차를 보장하지 않는다.
교점이 있다는 줄과 그 점이 대상 안이라는 줄을 나누어 적는다.
출처·착안: とろたま, 「【高校数学】体系化６：ベクトル，複素数平面など」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.