f는 실수 전체에서 미분가능하다. 0<c<1인 어떤 c에서 f′(c)=0임을 증명하라. f′의 연속은 추가로 가정하지 않는다.
미분가능한 f는 [0,1]에서 연속이므로 최솟값을 얻는다. f′(0)<0이어서 충분히 작은 양수 h에 f(h)<f(0)이고, f′(1)>0이어서 충분히 작은 양수 k에 f(1−k)<f(1)이다.
따라서 양 끝점은 최솟값을 얻는 곳이 아니다. 최솟값을 얻는 입력 c가 내부에 있고, 그곳에서 미분가능하므로
이번 증명은 원래 함수의 연속과 끝점에서의 미분계수 부호를 사용한다. 도함수에 사잇값의 정리를 적용하려면 그 연속 가정을 별도로 확인해야 하므로, 여기서는 f의 최솟값으로 필요한 내부점을 정한다.
채점에서는 세 가지 근거를 찾는다. 최솟값이 존재하는 이유, 양 끝점이 제외되는 이유, 내부 최솟값의 미분계수가 0인 이유다. 정리 이름만 적은 답보다 각 가정의 역할을 드러내게 한다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Reading the Derivative’s Graph」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.