무게중심에서 세 꼭짓점까지 같은 거리라면 정삼각형일까

G:\text{삼각형 }ABC\text{의 무게중심},\qquad GA=GB=GC=r.

한 직선 위에 있지 않은 세 점A,B,C로 만든 삼각형이다. 이 조건만으로 정삼각형임을 증명할 수 있는지 판단하라.

u=GA, v=GB, w=GC를 벡터로 두면 무게중심의 좌표 공식에서 u+v+w=0이다. 세 크기는r로 같고 r>0이다.

|u+v|^2=|w|^2=r^2 \quad\Longrightarrow\quad u\cdot v=-\frac{r^2}{2}.

다른 두 쌍에서도 내적이−r²/2다. 따라서

AB^2=|v-u|^2=3r^2, \qquad BC^2=CA^2=3r^2.

세 변이 모두√3r이므로 정삼각형이다.

임의의 한 점이 세 꼭짓점까지 같은 거리에 있다는 조건만으로는 정삼각형이 아니다. 어떤 삼각형에도 원의 중심을 찾을 수 있다. 여기서는 그 점이 무게중심이라 세 위치벡터의 합이0이라는 조건을 함께 썼다.

예를 들어 A=(0,0), B=(4,0), C=(0,4)의 무게중심은(4/3,4/3)이다. 세 거리 제곱은32/9,80/9,80/9로 같지 않다. 반면 세 꼭짓점은 중심(2,2)의 같은 원 위에 있다. 등거리점의 이름을 바꾸면 조건의 강도가 달라진다.

교사는 거리 같음에서 내적식을 얻은 줄과, 무게중심에서 합0을 얻은 줄을 따로 확인한다. 한 조건만으로 결론을 주장했는지 찾을 수 있다. 그림의 대칭 인상보다 실제 세 변의 제곱이 같다는 계산으로 증명을 마친다.

여기서는 세 꼭짓점이 한 직선 위에 있지 않은 삼각형이라고 주었다. r=0이면 세 점이 모두G와 겹치므로 이 조건에서 불가능하다. 벡터의 제곱식을 전개할 때 실제 도형의 존재 전제도 함께 읽는다.