계속 증가하는 함수라도 공역을 실수 전체로 두면 역함수가 없을 수 있다

f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\qquad(x\in\mathbb R).

f의 치역을 구하고, 공역을 실수 전체로 둘 때와 치역으로 둘 때 역함수의 존재를 비교하라. 모든 곳에서 증가한다는 확인만으로 실수 전체로의 일대일대응이라고 해도 될까?

항상 |f(x)|<1이다. −1<y<1에서 y=x/√(1+x²)를 제곱하면 x²=y²/(1−y²)다. 원래의 식에서 x와y의 부호가 같아야 하므로

x=\frac{y}{\sqrt{1-y^2}}\qquad(-1<y<1).

이 식을 다시 f에 넣으면 정확히y가 된다. 따라서 치역은 (−1,1)이고 그 범위에서 위 식이 역함수다. y=0도 x=0으로 포함된다.

미분하면 f′(x)=(1+x²)^{-3/2}>0이므로 입력이 다르면 출력도 다르다. 그러나 출력1,−1이나2는 얻지 못한다. f를 R→R로 정의하면 공역 전체에 대응하지 않아 역함수가 존재하지 않는다.

공역을 (−1,1)로 정하면 일대일대응이고 역함수가 존재한다. 증가 조건은 겹친 출력을 막으며 공역을 모두 얻는 조건까지 대신하지 않는다. 제곱한 식으로 구한 ±후보를 원래의 식의 부호로 고른 줄도 확인한다.