이 조건을 만족하는 실수 전체의 미분가능함수가 존재하는지 판단한다. 후보1/(1−x)를 미분해 맞는다는 이유만으로 답을 끝내지 않는다.
도함수가0 이상이므로 평균값 정리로 x≥0에서 f(x)≥1이다. 따라서0부터1까지는 f가0이 아니며 H(x)=1/f(x)를 정의할 수 있다.
이 구간에서 H′=−f′/f²=−1이다. H(0)=1이므로 평균값 정리를 적용하면 H(x)=1−x다. 특히 H(1)=0이어야 하지만 H(1)=1/f(1)>0이어서 모순이다.
따라서 실수 전체에서의 함수는 존재하지 않는다. 후보f=1/(1−x)는 x<1의 범위에서는 주어진 미분 관계와0의 값을 만족한다. 그 범위의 후보 검산과 전체 정의역의 존재는 서로 다른 주장이다.
답안에는0으로 나눈 지점이 없는지, 어떤 구간에서 역수를 썼는지를 남긴다. 식을 얻은 뒤 정의되지 않는 입력1을 새로 함수값으로 채우면 원래의 미분 조건까지 유지되는 것은 아니다.
출처·착안: Adam Glesser, 「Integration by Parts 2」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.