적분이1인 일차식으로 왼쪽 확률0.8을 만들 수 있을까

0≤x≤1에서 f(x)=ax+b이고 밖에서는0인 확률밀도함수를 만든다. P(X≤1/2)=0.8을 만족시킬 수 있는지 판단하라.

\int_0^1(ax+b)\,dx=1\quad\Longrightarrow\quad b=1-\frac a2.

적분이1이라는 조건만 쓰면 어떤 a도 고를 수 있어 보인다. 그러나 구간 전체에서 f(x)≥0이어야 한다. 일차식이므로 양 끝값 b와 a+b가 모두 음수가 아니면 충분하다.

-2\le a\le2,\qquad P(X\le\tfrac12)=\int_0^{1/2}(ax+b)\,dx=\frac12-\frac a8.

가능한 왼쪽 확률은1/4 이상3/4 이하다. 따라서0.8은 불가능하다.

확률 식만으로 a를 구하면 a=−2.4, b=2.2다. 전체 적분은1이지만 x=1 근처에서 음수이므로 확률밀도함수가 아니다. 원하는 확률0.8이0과1 사이에 있다는 검사만으로 현재의 함수 조건을 보장하지 않는다.

양 끝 확률은 실제 가능하다. a=2이면 f(x)=2x이고 왼쪽 확률1/4, a=−2이면 f(x)=2−2x이고 왼쪽 확률3/4이다. 제한을 계산한 뒤 그 끝값을 만족하는 함수도 확인했다.

교사는 원하는 확률에 맞춰 계수를 먼저 구한 문항에서 함수의 음수 부분이 생기지 않는지 확인한다. 확률밀도함수라는 말에는 넓이1과 음수가 아님이라는 두 조건이 함께 들어 있다. 계수에 붙은 제한을 빼면 정답의 존재까지 달라진다.

이 결론은 모든[0,1] 분포의 왼쪽 확률이 이 범위라는 뜻은 아니다. 이번에는 밀도함수를 일차식으로 제한했다. 값이 나오는 구간 조건과 함수 형태의 조건을 따로 읽는다.

원하는 확률에 맞춘 식이 실패하면 어느 조건을 바꿀지 명시한다. 일차식 제한을 유지하면서0.8을 그대로 정답으로 요구할 수는 없다.