사각형의 네 꼭짓점, 각의 순서를 바꾸면 한 원 위에 놓일까?

볼록사각형의 네 내각이 a,a+d,a+2d,a+3d이고 d>0이다. 이 값을 작은 순서대로 꼭짓점 A,B,C,D에 놓으면 원에 내접할까? 볼록사각형이 원에 내접할 필요충분조건은 마주 보는 두 각의 합이 180°라는 사실을 사용한다.

예를 들어 60°,80°,100°,120°를 그 순서로 놓으면 마주 보는 합은160°와200°다. 반면60°,80°,120°,100° 순서의 볼록사각형에서는 두 합이180°다. 네 숫자는 그대로인데 서로 마주 보는 숫자가 달라졌다. 일반적으로도 a와a+3d, a+d와a+2d를 마주 보게 놓으면 합은 모두2a+3d=180°다.

등차수열의 합을 구할 때는 첫째항과 끝항, 두 번째와 세 번째를 짝지으면 같은 합을 얻는다. 그 수열의 짝과 도형에서 마주 보는 꼭짓점의 짝이 자동으로 같은 것은 아니다. 정렬한 숫자 목록만 보고 도형의 배치를 추정한 것이 오답의 원인이다.

교사는 각의 크기를 순서 없이 제시한 문제와 꼭짓점에 순서대로 붙인 문제를 따로 준비한다. 학생이 내접을 주장하면 어느 두 각이 마주 보는지 선으로 연결하게 한다. d=0이면 네 각이90°가 되어 두 순서의 차이가 사라진다는 경계도 확인한다.

Don Steward의 글은 등차인 네 각과 원에 내접하는 관계를 묻는다. 원문 그림의 실제 배치를 판독했다고 주장하지 않고, 이 글에서는 배치를 문장으로 명시한 자체 두 경우를 비교했다.

출처·착안: cyclic quadrilateral angles. 위 조건·문항·해설은 새로 작성했다.