그래프가 두 갈래라면, 기울기만 보고 감소를 판단해도 될까?

f(x)=\frac{x+1}{x-1},\qquad x\ne1

도함수가 항상 음수이므로 정의역 전체에서 감소함수라는 설명은 맞을까?

f'(x)=\frac{-2}{(x-1)^2}<0

각 구간에서는 감소하지만, 정의역 전체에서는 아니다.

실제로 0<2인데

f(0)=-1<3=f(2)

이다. 감소함수라면 입력이 커질 때 함수값은 작아야 하므로 반례가 된다.

빠진 한 점이 결론의 범위를 바꾼다

도함수 부호로 증가·감소를 판정하는 구간을 먼저 적는다. x=1에서는 함수가 정의되지 않으므로 두 구간을 하나처럼 이어서 판단할 수 없다.

중국의 문제 준비 노트는 계산 뒤 조건을 다시 읽는 흐름을 강조한다. 이를 도함수 계산은 맞지만 감소하는 범위를 넓혀 쓴 답안으로 재구성했다.

출처·착안: 「高中数学」易错点以及不自然处整理. 문항과 풀이는 새로 작성했다.