수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

삼차식의 세 값만으로 부족하다, x³의 계수까지 봐야 하는 이유

최고차항이 x³인 삼차식에서 P(1)=P(2)=0, P(0)=−6이면 P=(x−1)(x−2)(x−3)입니다. 최고차항의 계수 1을 빼면 3(x−1)²(x−2)도 조건을 만족합니다. 값뿐 아니라 식의 조건을 읽어 보세요.

나무 바닥 위 자물쇠와 여러 열쇠

사진: Trougnouf · CC BY 4.0 · 원본 출처

최고차항이 x³인 삼차다항식 P(x)에 대하여

P(1)=P(2)=0,P(0)=−6P(1)=P(2)=0,\qquad P(0)=-6

이다. P(x)를 구하라.

P(x)=(x−1)(x−2)(x−r)P(0)=−2r=−6r=3 \begin{aligned} P(x)&=(x-1)(x-2)(x-r)\\ P(0)&=-2r=-6\\ r&=3 \end{aligned}

따라서 답은

P(x)=(x−1)(x−2)(x−3)P(x)=(x-1)(x-2)(x-3)

이다.

“삼차”만 남기면 식이 하나로 정해질까?

최고차항의 계수 1을 빼면

P(x)=k(x−1)(x−2)(x−r),kr=3P(x)=k(x-1)(x-2)(x-r),\quad kr=3

인 여러 식이 가능하다. 예를 들어 3(x−1)2(x−2)3(x-1)^2(x-2)도 P(1)=P(2)=0, P(0)=−6을 만족한다.

Shared Factors 원문은 여러 식의 공통 인수를 드러낸다. 새 비교에서는 같은 세 함수값을 만족하더라도 최고차항 조건이 빠지면 답이 달라진다는 점을 확인한다. 세 값과 삼차라는 말만으로는 부족하다.

출처·착안: Shared Factors – A Quadratics Puzzle. 문항과 풀이는 새로 작성했다.