수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

분모를 곱하기 전에, 부등호가 뒤집히는 구간을 찾자

1/(x−1)>1/(x+1), x≠±1의 해는 x<−1 또는 x>1입니다. 통분한 2/(x²−1)의 부호를 보면 됩니다. (x−1)(x+1)을 곱하기 전에 그 부호가 바뀌는 두 점부터 확인하세요.

도시 건물 사이 여러 갈래가 이어진 교차로의 공중 모습

사진: Saiphani02 · CC BY-SA 4.0 · 원본 출처

1x−1>1x+1(x≠−1,1)\frac1{x-1}>\frac1{x+1}\qquad(x\ne-1,1)

양변에 (x−1)(x+1)을 곱해도 부등호 방향은 항상 같을까?

1x−1−1x+1=2x2−1>0 \begin{aligned} \frac1{x-1}-\frac1{x+1} &=\frac2{x^2-1}>0 \end{aligned}
x의 범위 x²−1의 부호 부등식
x<−1 + 참
−1<x<1 − 거짓
x>1 + 참

따라서 x<−1 또는 x>1이다. x=±1은 분모가 0이어서 처음부터 제외한다.

곱하기 전에 부호를 확인한다

가운데 구간에서는 음수를 곱하므로 부등호 방향을 바꾸어야 한다. x=0이면 −1>1이 되어 거짓이고, x=2이면 1>1/3이 되어 참이다.

Resourceaholic의 글은 부등식에서 부호와 경계 조건을 읽게 한다. 새 질문에서는 반복 계산보다 곱하려는 식의 부호가 어디에서 바뀌는지 먼저 표시하게 한다.

출처·착안: New GCSE: Inequalities. 문항과 풀이는 새로 작성했다.