묶음 확인 뒤 결과를 추론하면 확인 횟수가 항상 줄어들까

두 물건은 각각 독립적으로 확률1/2로 불량이다. 확인은 항상 정확하다. 둘을 묶어 한 번 확인하면 불량이 하나라도 있는지만 안다. 둘 다 정상이면 끝낸다. 불량이 있으면 첫 물건을 확인하고, 첫 물건이 정상일 때는 둘째가 불량임을 추론하여 끝낸다. 첫 물건이 불량이면 둘째도 따로 확인한다. 두 물건의 상태를 모두 알아내는 총 확인 횟수 T의 평균은2보다 작은가?

각 상태의 확률은1/4이다. 한 번으로 끝나는 경우가 있다는 사실만으로 평균 확인 횟수가 줄지는 않는다. 세 번 필요한 두 경우가 있어서 항상 개별 확인하는2회보다 평균이 크다.

첫 물건이 정상이고 묶음이 불량이라는 결과를 얻으면 둘째는 반드시 불량이다. 반면 첫 물건이 불량이라고 해서 둘째의 상태는 정해지지 않는다. 같은 두 번째 확인 뒤에도 남은 정보가 다르므로 절차의 가지를 정확히 따라야 한다.

교사는 물건 두 개의 상태를 모두 적은 네 행을 먼저 만든다. 절차의 이름이나 묶는 개수에서 평균을 바로 예상하기보다 각 행에서 실제로 몇 번 확인하는지 세게 한다. 추론으로 생략한 확인이 어느 행인지도 표시한다.

불량 확률을 p로 일반화하면 평균은1+3p−p²다. 따라서 이 절차가2회보다 유리한지는 p에 따라 달라진다. 이 문제의 p=1/2에서는 유리하지 않다는 결론을 유지한다.

출처·착안: Allan Rossman, 「What do you expect?」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.