p를 구하라. 두 확률이 모두 작을 수 있다는 이유로 p가 정해지지 않는다는 답도 검토한다.
여섯 번 모두 실패할 확률은 (1−p)⁶, 모두 성공할 확률은 p⁶이다. 따라서
두 밑이 모두 0 이상이므로 1−p=p이고 p=1/2다. 실제로 두 확률은 모두 1/64가 된다.
짝수 거듭제곱의 다른 후보
등식에서 1−p=±p라고 적어도 음수 부호의 경우에는 1=0이 되어 불가능하다. 다만 확률의 범위를 먼저 사용하면 이 경우를 따로 만들 필요가 없다. 음수인 수들의 짝수 거듭제곱을 비교하는 일반 문제와 구별한다.
끝값 p=0에서는 두 확률이 1과 0이고, p=1에서는 0과 1이다. 모두 0이 되는 예외는 없다. 작아 보인다는 표현은 정확히 같다는 조건을 대신하지 못한다.
답을 낸 뒤 1/64를 직접 확인하게 한다. p=1/2가 이항분포의 기본 선택이라는 기억만으로 답한 경우와, 주어진 두 확률의 등식으로 도출한 경우를 구별할 수 있다.
같은 질문을 양의 시행 수 n에 쓰면 (1−p)ⁿ=pⁿ에서도 결론은 같다. 하지만 n=0인 시행이라면 X=0이 항상 일어나 두 끝값 사건이 같은 사건이 된다. 이 경우 모든 p가 가능하므로 시행 수가 양수라는 전제를 유지한다.
성공 0회와 성공 전부는 같은 빈도라는 관찰값으로 바꾸지 않는다. 문제는 실제 확률의 등식을 주었으며, 한 번의 실험에서 두 끝값이 관찰되지 않았다는 정보로 그 등식을 얻은 것이 아니다.
출처·착안: Paul Rowlandson, 「Thinking About Probability Trees」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.