주요 메뉴는 A,B,C 세 가지다. A에는 곁들임3가지, B에는2가지, C에는1가지를 고를 수 있다. 어느 조합이든 후식2가지 중 하나를 고른다. 가능한 식사 조합은3×3×2=18가지인가?
첫 메뉴 뒤의 선택 수가 모두3인 것은 아니다. A를 고른 조합6개, B를 고른 조합4개, C를 고른 조합2개를 더하면12개다. 이 세 경우는 첫 메뉴가 서로 다르므로 같은 식사 조합을 겹쳐 세지 않는다.
3×3×2라는 풀이에서 첫3은 메뉴 수를 정확히 세었다. 잘못된 부분은 두 번째3을 모든 메뉴 뒤에 적용한 것이다. 가장 많은 곁들임 수를 대표값처럼 쓰면 B,C에서 실제로 고를 수 없는 조합도 포함된다.
문항 준비에서는 메뉴별 허용 관계를 표로 보여 준다. 학생에게 식을 쓰기 전에 각 첫 선택에서 이어지는 가지 수를 적게 하면, 곱셈이 가능한 자리에만 같은 수를 썼는지 확인할 수 있다. 같은 모양의 선택 단계라도 가지 수가 달라질 수 있다.
후속 질문으로 B의 곁들임을 하나 더 허용하면 전체는14개다. 첫 선택 수3과 후식 수2는 그대로이며, 추가된 B 조합 한 개가 후식 두 개와 결합한다. 선택 수의 변화가 전체에 몇 가지를 더하는지 직접 설명할 수 있다.
여기서는 조합의 수를 셀 뿐 각 조합이 선택될 확률은 정하지 않았다. 메뉴를 같은 확률로 먼저 고른다고 해도12개 식사가 모두 같은 확률인 것은 아니므로 개수와 확률의 전제는 따로 확인한다.
출처·착안: Peter Mattock, 「Multiplicative counting – the different types」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.