문자 A 두 개와 B 두 개를 모두 사용하여 네 칸에 나열한다. 같은 문자는 구별하지 않는다. 다음 세 답 중 알맞은 것은 무엇인가?
답은6이다. AABB,ABAB,ABBA,BAAB,BABA,BBAA가 전부다. 네 문자를 각각 A₁,A₂,B₁,B₂로 구별하면24개지만 각 결과마다 A 두 개를 바꾸는2가지와 B 두 개를 바꾸는2가지가 같은 문자열로 보인다.
2⁴은 각 칸에 A나 B를 자유롭게 선택하는 경우의 수다. AAAA나 AAAB처럼 이 문제에 허용되지 않는 결과도 들어간다. 같은 문자 반복이 가능하다는 사실만으로 각 문자를 쓰는 개수 조건을 지울 수 없다.
교사는 두 오답을 한 종류로 묶지 않는다. 24는 같은 문자를 서로 다른 것으로 구별한 답이고16은 문자별 사용 개수 제한을 없앤 답이다. 목록에 AABB를 서로 다른 표식으로 네 번 만든 흔적이 있는지, AAAA가 들어 있는지 확인하면 수정할 조건이 드러난다.
다른 풀이로 A가 놓일 두 칸을 네 칸에서 고르면 나머지는 B로 결정된다. 따라서 네 칸 중 두 칸을 택하는 조합의 수6과도 같다. 순열의 중복을 없애는 풀이와 위치를 먼저 고르는 풀이를 연결할 수 있다.
후속 문항에서는 두 A에 서로 다른 이름표를 붙인다. 이제 같은 문자열이라도 이름표 위치를 구별하므로12가지다. 어떤 대상을 구별하는지가 분모의2! 하나를 없애는 이유를 설명하게 한다.
출처·착안: Peter Mattock, 「Multiplicative counting – the different types」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.