를 구하자. 함숫값 앞의 계수 2만 반영한 답 6에서 무엇이 빠졌을까?
t=x/2로 두면 x=2t,dx=2dt이고 끝값은 0,1로 바뀐다.
함숫값의 2배와 dx의 2가 각각 반영된다. 함수의 구체적인 식은 몰라도 정적분 값의 배율은 정해진다. 음수인 함수값이 있어도 정적분의 상수배·치환 규칙으로 같은 결과를 얻는다.
검산용 f(t)=3에서는 높이 3,폭 1의 직사각형 넓이가 3이다. 변환 뒤 높이 6,폭 2라 넓이 12다. 이 그림은 양수 상수함수의 예이며 일반 f의 모든 값이 양수라는 주장은 아니다. 학생에게 치환 변수·끝값·dx를 별도 칸에 써 빠뜨린 배율을 찾게 하자.
출처·착안: Lin McMullin, 「The Old Pump」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.