P는 계수가 모두 실수인 다항식이다. 이 두 조건이면 x²−1을 인수로 갖는지 증명하라. 조건 P(−x)=P(x)는 모든 실수 x에 대해 성립한다.
x=1을 넣으면 P(−1)=P(1)=0이다. 나머지 정리로 x−1과 x+1이 모두 인수다. 서로 다른 두 일차식이므로 P=(x−1)Q라 쓰면 0=P(−1)=−2Q(−1)에서 Q(−1)=0을 얻는다.
P가 항상 0인 다항식이면 R=0으로 그대로 성립한다. 차수를 정하지 않았으므로 R이 상수라고 확정해서는 안 된다. x⁴−1에서는 R=x²+1이고 x²−1에서는 R=1이다.
또 R(−x)=R(x)도 성립한다. x≠±1에서는 두 식을 나누어 확인하고, 다항식 항등식으로 전체 입력에 적용한다. 한 번의 대입으로 얻은 조건과 모든 입력에서 주어진 조건을 구별하는 질문이다.
학생이 P(1)=0 하나만으로 x²−1을 인수라고 썼다면 P=x−1을 대입해 반박한다. 짝을 만드는 정보는 ‘1이 근’이 아니라 P(−x)=P(x)라는 조건이다.
출처·착안: Shared Factors – A Quadratics Puzzle. 문항과 풀이는 새로 작성했다.