방정식 P(x)=0은 정수해를 갖지 않는다는 주장을 증명하라. 두 입력의 값만 안다고 모든 실수의 함수값을 결정하는 문제는 아니다.
정수 n이 짝수면 상수항을 제외한 모든 항은 짝수다. 따라서 P(n)을 2로 나눈 나머지는 상수항 P(0)과 같아 1이다. n이 홀수면 모든 n의 거듭제곱을 2로 나눈 나머지가 1이므로 P(n)의 나머지는 계수의 합 P(1)과 같아 1이다.
결국 모든 정수 n에서 P(n)은 홀수이고 0이 될 수 없다. 는 결론이다. 음의 정수도 같은 짝수·홀수 구분에 들어간다.
이 조건은 충분조건이며 필요조건은 아니다. P=x²+2도 정수해가 없지만 P(0)=2는 짝수다. 조건을 만족하지 않는 식을 찾았다고 정수해가 반드시 있다고 뒤집지 않는다.
또 x²+x+1에서는 두 값이 모두 홀수지만 복소수해가 있다. 정수해 부정과 모든 수 범위의 해 부정은 구별한다. 교사는 입력의 범위를 정수로 적은 이유가 실제 증명 어디에서 사용됐는지 표시하게 한다.
출처·착안: 「高中数学」易错点以及不自然处整理. 문항과 풀이는 새로 작성했다.