조건을 만족하는 실수 a의 범위를 구하라. x가 커질 때만 비교하여 a에 제한이 없다고 쓴 답안을 검토한다.
모든 x 중에는 0도 있으므로 |a|≤1이 필요하다. 즉 −1≤a≤1이다. 이 한 입력은 필요조건을 만들지만, 아직 모든 입력에서 성립함을 증명한 것은 아니다.
반대로 |a|≤1이라면 |x−a|≤|x|+|a|=x+|a|≤x+1이다. 첫 부등식은 x와 −a의 부호가 같을 때는 등호이고 다를 때는 두 절댓값의 차가 합보다 작다는 사실로 확인한다.
a=±1도 포함된다. a=2를 넣으면 큰 x에서는 부등식이 맞을 수 있지만 x=0에서 2≤1이 거짓이므로 모든 입력 조건은 실패한다.
학생이 x=0만 넣고 끝냈다면 답의 후보는 맞더라도 충분성 설명을 보완한다. 필요성을 만드는 한 입력과 충분성을 보이는 모든 입력의 계산을 두 색으로 표시하면 모든 입력에서 성립하는 조건을 검사하는 절차가 분명해진다.
출처·착안: Cauchy−Schwarzの不等式をベクトルを使って証明. 문항과 풀이는 새로 작성했다.