수학 이야기수업과 문항을 함께 생각하는 기록

sin x로 나눴더니, 맞는 해 0과 π가 사라졌다

sin x=sin 2x, 0≤x<2π를 풀면 sin x(1−2cos x)=0입니다. 해는 0,π/3,π,5π/3. sin x로 바로 나누면 0과 π를 잃고, 범위를 확인하지 않으면 2π를 잘못 더합니다.

양끝 줄이 보이는 작은 붉은 매듭

사진: USCG PTC Developer · CC BY-SA 4.0 · 원본 출처

sin⁡x=sin⁡2x,0≤x<2π\sin x=\sin2x,\qquad 0\le x<2\pi

실수해를 모두 구하라. 양쪽을 sin x로 나눈 답안은 어느 해를 잃을까?

sin⁡2x=2sin⁡xcos⁡x⟹sin⁡x(1−2cos⁡x)=0.\sin2x=2\sin x\cos x \quad\Longrightarrow\quad \sin x(1-2\cos x)=0.
경우 주어진 범위의 해
sin x=0 0, π
cos x=1/2 π/3, 5π/3

따라서 해는 0, π/3, π, 5π/3이다. 첫 경우의 2π는 문항의 범위에 포함되지 않는다. 각 후보를 원래의 식에 넣으면 두 sin 값이 같다.

sin x로 나누면 첫 경우의 0과 π가 사라진다. 나눌 수가 0일 가능성을 처리한 뒤 남은 경우에서만 약분한다. 0인 인수를 보존하는 일과 마지막 입력 범위를 확인하는 일을 별도의 채점 지점으로 둔다.

출처·착안: Jo Morgan, 「New GCSE: Inequalities」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.