E와 O는 이 글에서 쓰는 크기의 단위행렬과 영행렬이다.
학생이 P²=P이므로 P는 영행렬 또는 단위행렬이라고 말했다. 직접 계산으로 판단하고, P를 두 번 곱하는 일이 실제로 무엇을 하는지 설명한다.
P의 성분은 모두 1/2이므로 O도 E도 아니다. P는 두 성분을 그 평균으로 바꾼다. 평균이 이미 두 자리에 같게 들어간 [[4],[4]]에 다시 곱하면 그대로 남는다.
P²=P라는 등식은 두 번 바꾼 결과가 한 번 바꾼 결과와 같다는 말이다. 첫 번째 변화가 없다는 뜻은 아니다. 예를 들어 [[2],[6]]과 [[3],[5]]는 서로 다른 입력이지만 P를 곱한 결과는 같다.
실수 p²=p에서 p(p−1)=0이므로 p=0 또는 1이라는 풀이와 비교할 수 있다. 행렬에서는 P(P−E)=O가 되어도 두 인수 중 하나가 영행렬이라고 결론 낼 수 없다. 곱을 다시 확인한 학생에게는 계산 점수를, 한 번과 두 번의 작용을 구별한 설명에는 별도 점수를 주어 판단의 근거를 드러낸다.
출처·착안: srcav, 「Grid Method Matrix Multiplication」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.