“x=0에서 1<0이 거짓이므로 이 명제는 거짓이다.”라는 예시 답안을 검토한다. 결론은 맞지만 적은 이유만으로 충분한가?
x=0이 실패했다는 사실은 다른 실수에서도 모두 실패한다는 뜻이 아니다. 어떤 x가 존재한다는 명제를 부정하려면, 가능한 모든 실수에서 부등식이 성립하지 않음을 보여야 한다.
따라서 x²+1<2x를 만족하는 실수는 없다. 이 계산이 존재하지 않는다는 결론의 근거다.
부등호를 ≤로 바꾼 문장은 x=1에서 등호가 성립하므로 참이다. <인 문장과 ≤인 문장은 x=0에서 똑같이 실패하지만 참·거짓은 다르다. 한 번의 실패를 증명으로 인정할 수 없는 이유가 여기서 분명해진다.
반면 모든 실수에서 x²+1<2x라는 명제를 부정하는 데에는 x=0 하나로 충분하다. 답안의 계산 오류와 증명 범위의 오류를 구별하여 채점할 수 있는 짧은 비교다.
출처·착안: 電気魚, 「ある命題の真偽に関する問題について」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.