m은 0 이상인 정수이고 계수는 모두 실수다. P(1)=S가 되는 조건을 구한다. 계수의 부호가 섞여 있어도 대입값이 같아질 수 있다는 주장을 검토한다.
각 항은 0 이상이다. aₖ≥0이면 그 항은 0이고 aₖ<0이면 −2aₖ>0이다. 따라서 합이 0이려면 모든 계수가 0 이상이어야 하고, 이 조건이면 실제로 P(1)=S다.
|P(1)|=S로 질문을 바꾸면 모든 계수가 0 이상인 경우와 모두 0 이하인 경우를 함께 포함한다. 계수가 모두 0인 경우도 두 조건에 들어간다. 부호가 다른 0 아닌 계수가 함께 있으면 절댓값을 취해도 엄격히 작다.
예를 들어 3x²−2x+1은 S=6이지만 P(1)=2다. 음의 계수 −2가 합에서 다른 부호로 작용한다.
전개 결과의 계수를 확인할 때 대입값 하나가 어떤 정보를 묶어서 보여 주는지 설명하게 한다. 합이 0이면 각 항이 0이라는 결론도 이번에는 항들이 모두 0 이상이라는 조건 때문에 사용할 수 있다.
출처·착안: Jo Morgan, 「Factorising by Inspection」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.