계수를 거꾸로 적은 다항식의 대입값은 어떻게 바뀔까

P(x)=ax^3+bx^2+cx+d,\quad R(x)=a+bx+cx^2+dx^3,\quad P(2)=3.

R을 x−1/2로 나눈 나머지를 구한다. 계수의 순서를 뒤집었으므로 나머지도 3이라는 예시 답을 검토한다.

x≠0에서 두 다항식의 관계를 직접 적을 수 있다.

R(x)=x^3P\left(\frac1x\right).

나머지 정리에서 필요한 값은 R(1/2)다. x=1/2는 0이 아니므로 위 관계에 넣을 수 있다.

R\left(\frac12\right)=\left(\frac12\right)^3P(2)=\frac38.

입력을 역수로 바꾸는 일과 다항식의 계수를 거꾸로 적는 일 사이에는 x³이라는 배율이 남는다. 이 배율을 빼먹으면 대입 위치는 맞아도 나머지는 틀린다.

R은 처음부터 다항식으로 정의했으므로 R(0)=a도 정의된다. 다만 x³P(1/x)라는 중간 표현은 x=0에서 그대로 계산할 수 없다. 필요한 대입이 0인지 확인한 뒤 관계식을 사용한다. d=0이라 R의 차수가 3보다 낮아져도 정의한 식과 이번 나머지 계산은 그대로 성립한다.

출처·착안: Sarah Carter, 「Dividing Polynomials Using the Box Method Puzzles」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.