두 물체는 같은 직선 위에서 움직이고 위치의 단위는m, 시간은초다. 두 물체 사이 거리의 최솟값과 그 시각을 구한다. 가장 가까우려면 두 물체가 모두 정지해야 한다는 설명을 검토한다.
위치 차는 t²−4t+5=(t−2)²+1이다. 이 값은 전체 시간 범위에서 양수여서 A가 항상 B의 양수 방향에 있다. 거리는 절댓값을 다시 나눌 필요 없이 이 위치 차 자체다.
따라서 거리의 최솟값은1m이며 시각은2초다. 그때 속도는 v_A=2t=4m/s, v_B=4m/s로 둘 다0이 아니다.
두 물체가 같은 속도로 움직이는 순간에는 거리의 순간 변화가0이 될 수 있다. 물체 각각의 위치 변화가0이어야 한다는 조건과는 다르다. 실제2초 전에는 거리 차의 도함수가 음수, 그 뒤에는 양수여서 최소임도 확인된다.
거리 함수로 넘어가기 전 위치 차가0이 되는 시각이 있는지 검사한다. 만남이 있는 경우에는 절댓값의 접합점도 후보가 된다. 이번에는 두 물체가 만나지 않는다는 계산이 먼저 있어, 도함수 한 식으로 구간 전체를 다룰 수 있다.
출처·착안: Lin McMullin, 「Matching Motion」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.