두 점을 지나는 실수 다항식이 있어도 정수 계수로 쓸 수 있을까

P(0)=0,\qquad P(2)=1.

P의 모든 계수가 정수인 다항식을 만들 수 있는지 판정하라. 차수에는 제한이 없다. 두 값만 정했으므로 일차식으로 연결하면 된다는 풀이를 검토한다.

P(0)=0은 상수항이0이라는 뜻이다. 따라서 P(x)=a_1x+a_2x²+⋯+a_nxⁿ이고 모든 a_k가 정수다. x=2를 넣으면 각 항은2의 배수이므로 P(2)도 짝수다. P(2)=1과 모순된다.

P(2)=2\{a_1+2a_2+\cdots+2^{n-1}a_n\}\ne1.

계수가 모두 실수여도 된다면 P(x)=x/2가 두 조건을 만족한다. 문제는 두 점 사이를 연결할 수 있는가가 아니라 정수 계수라는 조건도 동시에 만족시킬 수 있는가다. 차수를 높여도 짝수라는 제한은 없어지지 않는다.

더 일반적으로 정수 m,n에서 P(m)−P(n)은 m−n의 정수배다. 각 거듭제곱의 차가 m−n을 인수로 갖기 때문이다. 다항식의 대입값을 자유롭게 지정한 문제를 만들 때에는 계수 범위를 먼저 적고, 서로 다른 입력 사이에 남는 나누어짐 조건도 확인한다.