수렴하는 양수 급수의 항을 제곱할 때와 제곱근을 취할 때

a_n>0,\qquad\sum_{n=1}^{\infty}a_n\text{는 수렴한다.}

∑a_n²과∑√a_n도 반드시 수렴하는지 각각 판정하라. 항을 변형하면 원래 항보다 작아지는지부터 확인한다.

급수가 수렴하므로 a_n→0이고, 어떤 번호 뒤에서는 a_n≤1이다. 그 뒤 a_n²≤a_n이다. 제곱한 항의 부분합은 증가하면서 원래 급수의 유한한 합과 처음의 유한한 항들로 제한되므로 수렴한다.

제곱근은0과1사이에서 원래 수보다 크다. a_n=1/n²을 택하면 원래 급수는 수렴하지만 √a_n=1/n의 급수는 수렴하지 않는다.

원래 급수의 수렴은 n≥2에서 1/n²≤1/{n(n−1)}=1/(n−1)−1/n으로 확인한다. 반면 1/n의 합은 번호2^k+1부터2^{k+1}까지 묶을 때 각 묶음이 적어도1/2라서 계속 커진다.

\sum a_n^2\text{는 반드시 수렴},\qquad\sum\sqrt{a_n}\text{는 수렴 보장이 없다.}

처음 몇 항이1보다 커도 수렴 여부는 바뀌지 않는다. 학생에게 “제곱하면 커진다”라는 설명의 입력 범위를 쓰게 하면,0에 가까운 양수 항에서 비교 방향이 반대임을 찾을 수 있다.