n은 양의 정수다. M_n과m_n이 모두0으로 가는지 각각 판정하라. 수열의 뒤 항들이 작은 조건이 처음 항도 작게 만드는지 묻는다.
임의의 ε>0에 대해 충분히 큰 번호 뒤의 모든 항은 |a_k|<ε다. n을 그 번호 이상으로 고르면 n부터2n까지의 모든 항이 ε보다 작아 m_n<ε다. 따라서 m_n→0이다.
M_n은 처음 항을 계속 포함한다. a_n=1/n이면 원래 수열은0으로 가지만 모든 n에서 M_n=1이다. 반면 같은 예의 m_n=1/n은0으로 간다.
최댓값에 포함되는 항의 번호를 쓰지 않으면 두 계산이 같은 것처럼 보일 수 있다. 평균에서는 처음 유한한 항의 비중이 줄어들지만 처음부터의 최댓값에서는 큰 첫 항이 계속 남는다.
학생에게 n을 늘릴 때 버리는 항과 계속 남기는 항을 각각 표시하게 한다. “n이 커지면 모두 작은 항만 보게 된다”는 말은 m_n에는 맞고 M_n에는 맞지 않는다. 극한을 쓰기 전에 어떤 번호의 항을 묶었는지 확인하는 문항이다.
출처·착안: Dan Meyer, 「Plates Without States」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.