성분은 실수이다. a+d와 ad−bc를 구하고, 그 두 값만으로 A²=A를 확인할 수 있는지도 판단하라. E는 같은 크기의 단위행렬이다.
t=a+d, δ=ad−bc라 하면 직접 전개한 등식 A²−tA+δE=O와 A²=A에서 (1−t)A+δE=O를 얻는다. 1−t≠0이면 A는 E의 실수 배수다. A=sE를 원래의 식에 넣으면 s²=s이므로 A는 O 또는 E가 되어 조건에 어긋난다.
반대로 이 두 성분 조건을 위의 전개식에 넣으면 A²−A=O다. 가능한 모양은 [[a,b],[c,1−a]]이고 bc=a(1−a)다. a는 0과1 사이여야 한다고 덧붙일 필요는 없다. a=2,b=1,c=−2도 조건에 맞는다.
“두 번 곱해도 같다”는 조건을 성분의 합과 곱으로 읽어낸 답과, 모든 성분이0 또는1이라고 단정한 답을 실제 예로 비교한다.
출처·착안: Matthew Simonson, 「Matrix Multiplication Made Easy」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.