AB=−BA는 두 곱이 모두 0이라는 뜻인가

A=\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix},\quad AB=-BA.

p,q,r,s는 실수이다. 가능한 B를 구하고, (A+B)²를 계산하라. 교차하는 두 곱이 지워지면 각각0이라는 답을 검토한다.

AB=[[p,q],[−r,−s]], BA=[[p,−q],[r,−s]]이므로 p=0,s=0이고 q,r에는 제한이 없다. 따라서 B=[[0,q],[r,0]]이다. B²=qrE이고 A²=E이므로 다음과 같다.

(A+B)^2=A^2+AB+BA+B^2=(1+qr)E.

q=r=1이면 AB도 BA도 영행렬이 아니지만 합은0이다. 또한 qr=−1이면 A+B는 영행렬이 아닌데 제곱이0이다. qr<−1이면 제곱한 1행 1열과 2행 2열 성분이 음수다.

두 항의 합이0이라는 조건을 각 항이0이라는 조건으로 바꾸지 않는다. 학생에게 q,r를 하나씩 정하게 하면 같은 식 안에서 제곱이 양수 배수,0,음수 배수인 세 경우를 직접 만들 수 있다. 실수 제곱의 기억을 행렬에 그대로 적용한 오류도 함께 드러난다.

출처·착안: Jo Morgan, 「Matrix Multiplication」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.