고정한 x에서 fₙ의 극한과 실수 전체의 최댓값을 각각 구하라. 극한이0이면 충분히 큰 n에서 모든 함수값도 작다는 설명을 검토한다.
x=0이면 항상0이다. 고정한 x≠0에서는 분자보다 분모의 n 차수가 커서0으로 간다. 반면 t=nx로 놓으면 t가 실수 전체를 움직이며 t/(1+t²)의 최댓값은1/2다.
도함수 (1−t²)/(1+t²)²나 (t−1)²≥0으로 최대를 확인한다. 최대를 얻는 입력은 n마다0에 가까워지지만 그 높이는 줄지 않는다.
각 입력에서 작아지는 n을 선택한 문장과, 모든 입력에 한꺼번에 통하는 n을 선택한 문장은 다르다. ε=1/4를 고르면 어떤 n에서도 x=1/n이 반례다. 최대의 위치와 높이를 함께 표시하면 확대된 그림의 폭이 좁아졌다는 관찰을 높이까지 작아졌다고 읽는 오류를 구체적으로 확인할 수 있다.
출처·착안: すい, 「【中高生向け】結局、微分って」. 문항과 풀이는 새로 작성했다.