세 점을 지나는 원이 세 점을 담는 가장 작은 원일까

A=(−3,0),B=(3,0),C=(0,1)을 모두 원의 내부 또는 경계에 포함하려 한다. 세 점을 지나는 원을 구하면 가장 작은 반지름이 된다는 주장을 검토하라.

세 점까지 같은 거리인 중심은(0,−4)이고 반지름은5다. 하지만 중심(0,0), 반지름3인 원도 A,B를 경계에, C를 내부에 포함한다.

OA=OB=3,\qquad OC=1<3.

세 점을 모두 담는 최소 반지름은5가 아니라3이다.

어떤 중심 P와 반지름 r의 원이 A,B를 포함하면 PA≤r,PB≤r다. 두 점 사이 거리는6이므로6≤PA+PB≤2r에서 r≥3이다. 반지름3인 실제 원을 이미 만들었으니 최소가3임이 확정된다.

r=3일 때 두 부등식에 등호가 되어 PA=PB=3이고 P는 AB 사이에 놓인다. 따라서 중심은 중점(0,0)으로 정해진다. C까지 경계에 놓으라는 조건은 애초 문제에 없다.

세 점을 지나는 원 자체의 계산은 틀리지 않았다. 잘못한 것은 포함한다는 부등식 조건을 모든 점이 경계에 있다는 등식으로 강화한 것이다. 원의 정의를 알고 있어도 최적화 문항의 대상 조건을 바꾸면 더 큰 반지름을 답할 수 있다.

교사는 그린 원에 세 점이 어디에 놓였는지 표시하게 한다. 최소 반지름 증명에는 더 작은 반지름이 불가능한 이유와 주어진 반지름이 실제 가능한 예를 모두 남긴다. 세 거리값을 같게 맞추는 절차가 언제 필요한지도 질문할 수 있다.

반지름을 줄일 수 있는지를 확인하는 목적이 추가되었다.