P는 C₁ 위, Q는 C₂ 위에서 고른다. PQ의 최솟값을 구하라. 작은 원이 큰 원 안에 있으므로 두 도형이 겹쳐 거리0이라는 답을 검토한다.
큰 원 중심O=(0,0), 작은 원 중심A=(1,0)이다. 작은 원 위Q는 O에서 최대 OA+AQ=2만큼 떨어진다. 따라서
P=(3,0), Q=(2,0)을 고르면 두 원 위이며 PQ=1이다. 그러므로 최솟값은1이다.
선택한 점은 경계 위에 있다
작은 원의 내부와 경계는 큰 원의 내부에 들어간다. 하지만 C₁과C₂의 원주끼리는 만나지 않는다. P와Q를 각 원의 내부까지 포함하여 고르라는 다른 조건이라면 P=Q=(1,0)을 택해 거리0을 얻는다.
원 위라는 조건을 내부 또는 위라는 조건으로 바꾸면 허용점 집합이 달라진다. 같은 그림에서 안쪽 영역이 겹치는 것과 두 경계선이 만나는 것을 구별해야 한다.
중심 거리에서 반지름 둘을 뺀1−3−1=−3도 답이 아니다. 그 식은 두 원이 바깥에서 떨어진 경우의 빈틈을 계산한다. 작은 원이 안에 있는 이 경우에는 큰 반지름에서 중심 거리와 작은 반지름을 뺀3−1−1이 맞는다.
해설에는 부등식으로1보다 작을 수 없다는 줄과 실제 두 점에서1을 얻는 줄을 함께 적는다. 그림의 가장 가까워 보이는 점만 골라 길이를 계산한 것은 전체 최솟값의 근거로 충분하지 않다. 문항의 “원 위”를 표시한 뒤 최소 거리의 두 점을 택한다.
두 원의 내부를 포함한 영역을 묻는다면 원점은 두 영역에 모두 속한다. 같은 그림에서도 점의 허용 범위를 경계로 제한했는지가 최단거리의 답을 바꾼다.
출처·착안: 理系の解像度, 「日常に隠された垂直二等分線」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.