P가 포물선 위라는 조건을 함께 준다. d에 따라 가능한 점 수를 구하라. 초점까지 거리만 고정하면 원이라 점이 무수히 많다는 답을 검토한다.
포물선에서는 x≥0이며
따라서 x=d−1, y²=4(d−1)이다.
| 거리d | 가능한 점 |
|---|---|
| 0≤d<1 | 없음 |
| d=1 | (0,0) 한 점 |
| d>1 | (d−1,±2√(d−1)) 두 점 |
포물선 위 조건이 없으면 d>0일 때 중심 F·반지름 d인 원이고 d=0일 때 F 한 점이 되지만, 지금은 그 거리 조건을 만족하는 점 중 포물선 위 점만 고른다. 거리 조건 하나와 두 조건의 교집합을 구별한다.
제곱근에서 부호를 정하는 이유
PF²=(x+1)²에서 PF=x+1을 쓰려면 x+1>0임을 확인해야 한다. 이 값은 포물선의 x≥0에서 보장된다. 일반 점까지의 거리 공식을 모두 x+1로 바꾼 것은 아니다.
d=2이면 점(1,±2)이 둘이고 초점까지 거리는2다. d=1의 ±0은 같은 점이므로 두 개로 세지 않는다. d<1에서는 음수인 y²가 나와 실수 점이 없다.
문항을 준비할 때 P가 포물선 위라는 조건을 첫 줄에 적는다. 초점·거리만 보고 원을 그린 풀이에서 빠진 것은 계산이 아니라 선택점의 다른 조건이다. 각 경계값에서 제곱 좌표의 부호와 실제 점 수를 함께 확인한다.
d=0은 초점 자체를 뜻하지만 초점은 이 포물선 위에 없다. F=(1,0)을 식에 넣으면0≠4다. 고정한 점이 도형을 정의하는 데 쓰였다는 사실과 그 점이 도형에 속한다는 사실은 다르다. 이 경계 예를 별도 한 줄로 검산하게 한다. 정의에 쓰인 점도 대입하여 검사한다.
출처·착안: Sarah Carter, 「Conic Sections Foldable」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.