전체 합 조건을 통과해도 앞부분 조건은 실패할 수 있다

1부터 6까지를 한 번씩 배열한다. k=2,3,…,6 각각에 대해 처음 k개 수의 합이 k로 나누어떨어지지 않아야 한다. 전체 합 21이 6으로 나누어떨어지지 않으므로 어떤 배열이나 조건을 만족한다는 풀이를 검토하라.

전체 합은 배열 순서와 관계없이 21이다. 이 사실은 k=6의 조건만 확인하며, k=2부터 5까지의 조건은 아직 남아 있다.

예를 들어 (1,3,2,4,5,6)은 처음 두 수의 합이 4이므로 k=2에서 실패한다. 전체 합의 검사를 통과한 것과 모든 앞부분 검사를 통과한 것은 다르다.

반면 (2,1,4,3,6,5)는 조건을 만족한다. 처음 k개 합의 나머지를 적어 보자.

모든 나머지가 0이 아니므로 이 배열은 실제 성공 예다. HBCSE 해설은 전체 합을 이용해 불가능한 경우를 먼저 제외하고, 가능한 경우에는 배열을 구성한다. 여기서는 그 두 단계를 ‘필요조건을 통과한 실패 예’와 ‘모든 조건을 확인한 성공 예’로 구분했다. 교사는 ‘예를 찾았다’라는 말 뒤에 무엇을 검사했는지 표로 남기게 할 수 있다.

출처·착안: RMO 2024 Official Solutions Problem 1. 문항과 풀이, 도식은 새로 작성했다.