n×n개의 단위 정사각형 타일을 붙여 큰 정사각형을 만들었다. 바깥쪽 변과 닿는 타일만 색칠한다. 자연수 n에 대해 색칠한 타일 수 Bₙ을 구하고, 가능한 두 가지 풀이를 비교하라.
n≥2에서는 전체 n²개에서 내부 (n−2)²개를 빼면 된다. Bₙ=n²−(n−2)²=4n−4다. n=2에서는 내부가 0개이므로 네 타일 모두 색칠된다는 뜻이다. 다른 방법은 네 변마다 n개씩 세어 4n을 얻고, 두 번 센 네 모서리 타일을 한 번씩 빼는 것이다. 역시 4n−4다.
그런데 n=1을 넣으면 0이 나온다. 실제로는 타일 하나가 네 변 모두에 닿으므로 B₁=1이다. 내부를 (n−2)×(n−2)로 세는 설명은 n=1에서 성립하지 않는다. 변별 풀이에서도 ‘서로 다른 네 모서리 타일’이라는 전제가 무너진다. 하나의 타일을 네 번 세었으니 세 번을 빼야 한다.
답은 B₁=1, n≥2에서는 Bₙ=4n−4다. 두 풀이가 같은 식을 내놓았다는 사실만으로 모든 n에 쓸 수 있는 공식이라고 결론 내리지 않는다. 교사 질문은 ‘두 풀이가 함께 실패한 이유가 우연히 같을까’다. 두 설명 모두 큰 정사각형에 서로 다른 모서리 타일이 있다는 구조에 기대고 있다. 학생에게 n=1,2,3의 작은 도식을 먼저 그리게 하면 식의 조건을 말로 붙일 수 있다.
착안한 공개 원문: Deconstructing a Lesson Activity – Part 1. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.