용기의 바닥부터 높이2cm까지 단면적은2cm², 그 위 높이4cm까지는1cm²다. 물은 새지 않고0부터 차며 넘치지 않는다. 부피Vcm³에 따른 높이hcm의 식을 구하라. 단면적이 바뀌는 곳에서 높이 그래프는 끊기는가?
0≤h≤2에서V=2h다. h2까지 부피4가 필요하다. 2≤h≤4에서는V=4+(h−2)=h+2다. 역으로0≤V≤4에서는h=V/2,4≤V≤6에서는h=V−2다.
V4에서 두 식은모두h2라 그래프가 연결된다. 그러나 왼쪽 기울기1/2와 오른쪽 기울기1이 달라 그 점에서 미분가능하지 않다. 좁은 목에서는 같은1cm³가 두 배의 높이 증가를 만든다.
교사 질문은 ‘기울기가 달라지는 것과 함수값이 갑자기 뛰는 것을 구별했는가’다. 모양이 갑자기 좁아져도 물의 부피와 높이 관계는 이 모형에서 연속이다. 그림의 폭 변화와 그래프의 끊김을 같은 것으로 읽지 않는다.
착안한 공개 원문: Have you ever had hands-on math feel fun, but fade fast?. 원문의 수업 관점으로 새 문항을 구성했다.