공간의 점 P에서 x축·y축·z축까지의 거리가 각각 1,1,√3이라고 한다. 그런 점이 있는지 확인하라. 세 수가 삼각형의 세 변이 될 수 있으므로 가능하다는 설명을 검토한다.
P=(x,y,z)라 하면 x축에서 가장 가까운 점은 (x,0,0)이다. 나머지 두 축도 같은 방식으로 거리를 계산한다.
처음 두 식을 더하고 마지막 식을 빼면 2z²=−1이다. 실수 좌표에서 불가능하므로 P는 없다.
길이 세 개가 맡은 역할
1+1>√3 등 삼각형의 변 조건은 만족한다. 하지만 세 수는 한 삼각형의 세 변으로 주어진 것이 아니라 한 점에서 세 축까지의 거리다. 다른 도형의 존재 조건을 가져오면 좌표식의 모순을 놓친다.
일반 거리 a,b,c에서는 x²=(b²+c²−a²)/2, y²=(a²+c²−b²)/2, z²=(a²+b²−c²)/2다. 실제 점이 있으려면 세 오른쪽이 모두 0 이상이어야 한다. 평범한 세 변의 합 조건 대신 세 제곱 좌표 조건을 확인한 것이다.
세 오른쪽이 모두 0 이상이면 각 제곱근의 부호를 택해 점을 만들 수 있다. 원래 세 거리의 제곱식도 만족하므로 이 조건은 필요하기만 한 조건이 아니다. 거리는 양의 값으로 주었으므로 마지막 제곱근의 부호 문제도 없다.
채점에서는 그림에서 거리를 적당히 표시한 답보다 세 축의 가장 가까운 점을 적은 줄을 본다. 공간에서 주어진 거리 숫자만 삼각형으로 연결한 그림이 실제 점과 세 축의 배치를 나타내는지 확인한다.
출처·착안: eLog, 「教科書を精読してみた⑥ベクトル」. 문항과 예시 답안은 새로 작성했다.