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선분과 평면의 각, 코사인은 3/5일까요, 4/5일까요?

O(0,0,0), P(3,0,4), 수선의 발 H(3,0,0)입니다. OP=5, OH=3, PH=4라 평면과의 각 θ는 cosθ=3/5입니다. 법선벡터(0,0,1)와의 각 φ는 cosφ=4/5이며 θ+φ=90도예요. 두 올바른 값의 각 이름을 구별해요.

가상 장식을 채우며 1칸 또는 2칸 조각을 매번 독립적으로 반반 확률로 골라요. 길이의 합이 3칸 이상이면 멈추는 절차에서, 정확히 3칸을 채우는 세 배열이 같은 확률로 나오는지 계산해요.

0과2로 된 무한 문자열을 모두 나열했다고 가정해요. 새 문자열의 n번째 자리를 목록 n번째 문자열의 n번째 자리와 다르게 정해요. 임의의 번호에서 다르다는 설명이 왜 목록 전체에 적용되는지 확인해요.

넓이가1과3인 두 색 영역에서 점을 골라요. 전체에서 넓이에 대해 균등하게 고르는 방법과, 색 영역을 반반 고른 뒤 그 안에서 균등하게 고르는 방법은 빨강 확률이 달라요. 무엇을 같은 확률로 고르는지 선택 단계별로 적어 봐요.

앞·옆·위의2×2 그림을 모두 채우는 여덟 자리 모형이에요. 면 접촉만 연결로 세면 네 개와 다섯 개가 모두 실패해요. 여섯 개로 가능한 모든16배치를 빈 자리 쌍으로 구성해요.

폭 10칸 안에 다섯 단어를 정해진 순서로 적어요. 마지막 줄을 제외하고 각 줄에서 남는 칸 수를 제곱해 더한 점수를 여섯 가지 배치에서 비교해요. 앞줄부터 꽉 채운 점수 37보다 작은 유일한 최소 점수 29를 찾아요.

약수 일부의 합이 원래 수와 같으면 완전수일까요? 등비수열로 만든 두 약수 목록의 합을 구하는 일과, 빠진 약수가 없는지 확인하는 일을 나누어 봐요. 유클리드 완전수 증명에서 소수 조건이 맡는 역할을 살펴봐요.

몇 번의 기록에서 같은 차이가 보였어도 다음 값을 확정하려면 같은 변화가 이어진다는 가정이 필요해요. 가상의 작업 기록으로 예측값을 계산하고 실제 관측과 예측을 구별해요.

200Hz와 300Hz 중 가까운 음으로 맞추는 가상 조율기예요. 비율을 기준으로 음 사이 거리를 정하면 선택이 바뀌는 경계는 단순 평균이 아니에요. 245Hz의 두 거리도 비교해 봐요.

등차수열 aₙ에서 a₂=a₇=5입니다. 두 식의 차가 5d=0이므로 공차는 0, 모든 항은 5입니다. 등차수열 조건을 지우면 bₙ=5+(n−2)(n−7)은 b₂=b₇=5인데 b₁=11입니다. 서로 다른 번호와 일정한 차라는 조건을 함께 써요.