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두 특징만 바뀌는 카드, 다섯 장이면 규칙에 맞는 세 장이 있을까요?

뒤의 두 자리를 고정한 숫자 카드에서 앞의 두 자리만 바꾸어 다섯 장을 골라요. 규칙에 맞는 세 장이 반드시 생기는 이유를 확인하고, 바뀌는 자리를 하나 늘렸을 때의 반례와 비교해요.

같은 크기의 정사각행렬 두 개의 합을 제곱해요. 전개에 남는 AB와 BA를 따로 적고, 두 항을 2AB로 합칠 수 있는 조건을 반례와 함께 살펴봐요.

각각 대칭인 두 행렬을 곱해도 결과가 대칭이라고 할 수는 없어요. 대각선 양쪽의 두 칸을 실제로 계산하고, 일반식에서 두 값이 같아지는 조건을 비교해요.

가상 소리 실험에서 음원을 움직이는 경우와 관찰점을 움직이는 경우를 비교해요. 접근 속력은 같지만 파장과 파를 만나는 속도가 바뀌는 방식이 달라, 들리는 주파수는 서로 달라요.

‘HI’를 20칸 종이 시간띠에 배치하고, 두 띠의 켜진 시간 비율을 계산해요. 둘 다 30%여도 글자 사이 간격이 맞는지는 따로 확인해야 해요.

F(x)=logₓe에서 변하는 것은 로그 안의 수가 아니라 밑 x예요. x>0, x≠1이라는 조건을 확인하고 1/lnx로 바꾸어, 진수가 상수여도 미분값이 0이 아닌 이유를 살펴봐요.

이번 수량을 직전 두 수량의 합으로 정하는 가상 계획표를 읽어요. 마지막 값이 같아도 다음 값이 다를 수 있어요. 연속한 두 기록이 있을 때는 거꾸로 계산해 빠진 시작값까지 복원해요.

연결을 한 바퀴 돌 때마다 점수가 내려가는 모형을 생각해요. 통과 횟수에 제한을 두면 무한히 반복할 수 없어요. 출구 점수와 횟수 예산에 따라 바로 가기와 우회 중 무엇이 유리한지, 처음 이득이 생기는 경계까지 찾습니다.

가상 표시기는 최근 세 측정값의 평균으로 경보를 켜요. 실제 마지막 값과 평균 표시가 서로 다르게 움직이는 예를 계산해요. 흔들림을 줄이는 평균이 변화에 즉시 반응하는 값은 아니라는 점을 확인해요.

z=0과 x=z에 대한 대칭은 순서에 따라 달라요. P=(1,0,0)은 두 순서에서 (0,0,1), (0,0,−1)이 돼요. 중간 점을 먼저 기록해 비교해요.