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카드를 돌려놓지 않고 두 장 뽑으면, 평균의 분산 공식도 달라져요

값이 0,0,10,10인 구별되는 네 카드에서 서로 다른 두 카드의 쌍을 균등하게 골라요. 표본평균 0,5,10의 확률은 1/6,4/6,1/6이고 분산은 25/3입니다. 비복원추출을 독립으로 읽어 25/2를 쓰지 않아요.

f(0)=0일 때, f′(0)=2만 아는 경우와 [0,1]에서 연속이고 내부에서 미분 가능하며 |f′(x)|≤2인 경우를 따로 비교해요. 한 점의 기울기와 구간 전체의 기울기 제한이 끝값 f(1)에 주는 정보는 어떻게 다를까요?

제곱하고 3을 빼는 가상 반복에서 시작값에 따라 결과가 달라져요. 한 값은 그대로 유지되지만 0에서 시작하면 결국 값이 한없이 커져요. 규칙이 같아도 시작 조건을 함께 봐야 하는 이유를 확인해요.

가상 행사 자격 조건을 읽어요. 두 자격 모두 없다는 문장과 두 자격이 함께 있지는 않다는 문장은 다른 사람을 남겨요. 가능한 네 상태를 적어 부정 표현의 범위를 분명히 확인해요.

가상 유체 모형에서 달이 찢어질 수 있는 한계 거리를 행성 중심부터 재요. 행성의 질량과 달의 밀도는 그대로 두고 행성 반지름만 키울 때, 함께 변하는 행성 밀도가 거리에 어떤 영향을 주는지 살펴봐요.

a>0에서 a^(x²)≤a^x를 풀어요. a>1이면 0≤x≤1, 0<a<1이면 x≤0 또는 x≥1, a=1이면 모든 실수예요. 밑의 양수 조건만으로 지수 비교 방향까지 정할 수는 없어요.

가상 장치가 더하기와 빼기를 번갈아 적용해요. 같은 수량이 다시 나타나도 다음 차례의 명령이 다르면 이후 결과가 달라져요. 반복을 확인할 때 숫자와 함께 보관해야 할 상태 정보를 찾아봅니다.

타원 위 점 (3cosθ,2sinθ)에 θ=0°,45°,90°를 넣고, 이웃한 두 점을 잇는 선분의 길이를 비교해요. 같은 각도 간격이 같은 선분 길이를 보장하는지 확인하며, 타원을 따라 잰 길이와도 구별해요.

실수 전체에서 미분가능한 f,g가 f(x)²+g(x)²=1, f(0)=1, g(0)=0을 만족해요. 두 미분계수 중 f′(0)만 정해지고 g′(0)은 정해지지 않는 이유를 식과 예로 확인해요.

eˣ의0에서의 접선은 그래프 아래에, ln u의1에서의 접선은 그래프 위에 놓여요. 접선으로 근사한다는 말만으로 부등호 방향을 정할 수는 없어요. 각 함수와 접선식의 차를 비교하며 방향과 등호가 성립하는 입력을 확인해요.