부호가 바뀌어도 뛰어넘으면 0을 지나지 않을 수 있다
0≤x<1에서 −1, 1≤x≤2에서 1인 함수는 양 끝 부호가 달라도 함수값 0이 없습니다. x=1에서 불연속이므로 사잇값의 정리를 적용할 수 없습니다. 부호 계산과 연속 조건을 따로 확인하세요.
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문항과 조건 해석
범위·단위·순서·예외·존재 조건을 읽는 일이 답을 결정하는 글. 단순 계산이 아니라 문제에 실제로 주어진 조건의 역할이 중심이다.
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합성한 식이 x로 정리되어도 모든 실수의 항등함수는 아니다
f(x)=√(x−1), g(t)=t²+1이면 g(f(x))=x이지만 정의역은 x≥1입니다. 반대 합성은 모든 실수 t에서 |t|입니다. 정리한 식 옆에 정의역도 남겨 보세요.
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각 변수에 두 선택이 있어도 조건을 붙이면 여덟 해가 아니다
u²=v²=w²=1, uvw=1의 순서 있는 해는 8개가 아니라 4개입니다. u와 v를 고르면 w=uv로 정해집니다. 곱 조건을 반영한 네 행의 표로 2³이라는 답을 검토해 보세요.
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판별식이 양수인 것과 양의 정수 두근은 다른 조건이다
x²−5x+m=0의 두 근이 양의 정수이면 m=4 또는 6입니다. D≥0, m>0만으로는 정수 조건이 반영되지 않습니다. 근의 합 5를 만드는 두 정수쌍과 판별식의 제곱수 조건을 비교해 보세요.
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분모 둘을 곱할 때 한 번에 부등호 방향을 정할 수 있을까
1/(x−1)>1/(x+1), x≠±1의 해는 x<−1 또는 x>1입니다. 통분한 2/(x²−1)의 부호를 보면 됩니다. (x−1)(x+1)을 곱하기 전에 그 부호가 바뀌는 두 점부터 확인하세요.
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구간을 제한하면 꼭짓점이 최솟값 후보에서 빠지기도 한다
0≤x≤1에서 x²−2ax+1≥0이 항상 성립할 조건은 a≤1입니다. 꼭짓점 x=a가 구간 밖이면 끝점에서 최솟값을 비교합니다. 정의역을 실수 전체로 바꾼 문제의 답 |a|≤1과 구별해 보세요.
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두 실근이 구간 안에 있다는 조건은 판별식에서 끝나지 않는다
x²−3x+a=0의 두 실근이 0과 2 사이에 있고 중근을 허용하면 2<a≤9/4입니다. a=2의 근 2는 제외하고, a=9/4의 중근 3/2는 포함합니다. 판별식 뒤에 근의 위치와 경계값을 확인하세요.
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세 값만으로 삼차식이 정해지는 이유는 최고차항에 있다
최고차항이 x³인 삼차식에서 P(1)=P(2)=0, P(0)=−6이면 P=(x−1)(x−2)(x−3)입니다. 최고차항의 계수 1을 빼면 3(x−1)²(x−2)도 조건을 만족합니다. 값뿐 아니라 식의 조건을 읽어 보세요.
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제곱한 대칭식의 값에서는 잃어버린 부호를 복원해야 한다
실수 x≠0에서 x²+1/x²=7이면 (x+1/x)²=9입니다. 답은 ±3이고, x>0일 때 3, x<0일 때 −3입니다. 원래 조건에 없는 양수 조건을 보태지 않았는지 확인하세요.
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치환한 방정식의 음수 해를 x의 해로 가져오면 안 된다
실수 x에 대해 x⁴+x²−2=0을 풀면 u=x²≥0입니다. u²+u−2=0의 해 −2, 1 중 u=1만 가능해 x=±1입니다. 치환한 문자로 계산한 뒤 원래 문자와 범위로 돌아오는 줄을 남겨 보세요.
