행과 열을 맞바꾼 두 행렬의 곱이 0이면 모든 성분도 0일까
행과 열을 맞바꾼 두 행렬의 곱이 0이면 모든 성분도 0일까
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문항과 조건 해석
범위·단위·순서·예외·존재 조건을 읽는 일이 답을 결정하는 글. 단순 계산이 아니라 문제에 실제로 주어진 조건의 역할이 중심이다.
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홀수끼리 짝수끼리 보면 등차, 섞으면 어떨까?
a₂ₙ₋₁=1+4(n−1), a₂ₙ=b+4(n−1), n=1,2,…, b는 실수입니다. 전체 수열이 등차이려면 두 인접 차 b−1과 5−b가 같아 b=3, 공차는 2입니다. b=4면 1,4,5,8,…의 차가 3,1로 번갈아 바뀝니다. 홀수·짝수 목록의 공차 4만으로 전체를 판정하지 않습니다.
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계산에서 n=15/4가 나왔는데, 수열에 그 항은 없다
aₙ=4n−1, n=1,2,3,…입니다. aₙ=14를 풀면 n=15/4지만 자연수가 아니므로 14인 항은 없습니다. 14보다 큰 첫 항은 n=4에서 15입니다. 방정식의 해가 원래 허용한 항 번호인지 확인합니다.
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4를 네 번 더할까, 1부터 4까지 더할까? 합 기호의 차이
n은 자연수입니다. Aₙ=Σ(k=1부터 n까지) n, Bₙ=Σ(k=1부터 n까지) k입니다. n=4에서는 4+4+4+4=16과 1+2+3+4=10입니다. 일반값은 n²과 n(n+1)/2, 두 합은 n=1일 때만 같습니다. 움직이는 k와 고정된 n을 구별합니다.
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3·4·5라고 직각삼각형? cm와 m가 섞여 있다
AB=3cm, BC=4m, CA=5m입니다. AB를 0.03m로 맞추면 0.03+4<5라 삼각형이 없습니다. 숫자 3,4,5만 보고 직각삼각형이라 하면 단위를 빠뜨립니다. AB를 3m로 고칠 때는 실제 직각삼각형이 됩니다.
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세 방향에서 본 점의 좌표, 서로 맞지 않으면 원래 점도 없다
P의 세 정사영 기록은 xy:(2,3,0), yz:(0,3,4), zx:(2,0,5)입니다. z가 동시에 4와 5여야 하므로 P는 없습니다. 셋째의 5를 4로 바꾸면 P=(2,3,4), 둘째의 4를 5로 바꾸면 P=(2,3,5)입니다. 어느 쪽이 실제 오류인지는 별도 정보가 필요합니다.
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서로 다른 세 점만 있으면, 평면이 하나로 정해질까?
A(0,0,0), B(2,0,0), C(4,0,0)는 서로 다르지만 x축 위입니다. z=0과 y=0 평면에 모두 속해 평면은 하나가 아닙니다. C=(0,1,0)으로 바꾸면 한 직선 위에 있지 않아 z=0 하나로 정해집니다.
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내적은 0인데, 꼭짓점이 겹쳐 직각을 말할 수 없다
A(0,0), B(3,0), C(3,2), D(t,2)에서 네 꼭짓점은 서로 달라야 합니다. CD·DA=−t(t−3)=0의 후보는0과3입니다. t=3이면 C=D라 각이 정의되지 않아 제외합니다. t=0에서는 실제 직사각형이 됩니다.
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세 점의 평균 위치를 골랐는데, 주어진 직선 밖이었다
A=(0,0), B=(6,0), C=(0,3)에서 P는 직선 x+y=2 위의 점이다. 세 거리 제곱 합의 최소점은 좌표 평균 G=(2,1)이 아니라 P=(3/2,1/2), 최솟값은 63/2다.
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벡터의 계수를 따로 맞췄더니, 다른 해를 놓쳤다
실수s,t와 벡터 a=(1,2), b=(2,4)에서 sa+tb=a+b는 s+2t=3입니다. 해는(s,t)=(3−2t,t)로 여러 개입니다. b=(2,3)으로 바꾸면 두 성분식에서 s=t=1만 남습니다. 영벡터가 아닌 조건과 서로 실수배가 아닌 조건을 구별합니다.
