등차수열 두 개를 더하면 등차, 곱해도 등차일까
aₙ=n+1, bₙ=2n−1, n은 자연수입니다. 항별 합은 3n으로 공차 3인 등차수열입니다. 곱은 2n²+n−1, 인접 차는 4n+3이라 등차가 아닙니다. 한쪽이 상수 수열이면 곱도 등차가 될 수 있어, 이번 반례를 모든 곱의 결론으로 넓히지 않습니다.
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오개념과 반례
한 예의 일치, 잘못된 일반화, 성질의 혼동 등을 직접 반례와 비교로 바로잡는 글.
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두 대각선의 길이가 같으면 직사각형이라고 할까
A(0,0), B(4,0), C(3,2), D(1,2)를 순서대로 잇습니다. 두 대각선 길이는 모두 √13이지만 AB·AD=4라 직사각형이 아닙니다. 대각선 길이 외에 평행사변형 조건도 확인합니다.
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쌍곡선과 교점이 하나인 직선, 반드시 접선일까
쌍곡선 x²−y²=1과 직선 y=x−1은 (1,0)에서만 만납니다. 교점 하나라는 이유만으로 접선이라고 결론 내릴 수 없습니다. 실제 접선 x=1과 비교합니다.
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제곱항이 하나라는 이유만으로 포물선이라고 할까
A는 x²+2x−4y=3, B는 x²+2x=3입니다. A는 (x+1)²=4(y+1)인 포물선이고, B는 x=1 또는 x=−3인 두 세로선입니다. 제곱항 개수뿐 아니라 제곱되지 않은 y의 일차항이 남는지도 확인합니다.
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평균값의 정리에서 c를 구간의 중점으로 고정하면 안 된다
평균값의 정리에서 c를 구간의 중점으로 고정하면 안 된다
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부분적분의 경계항이 0이어도 나머지 적분은 남는다
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기함수 두 개를 곱하면 대칭구간 적분은 자동으로 0이 아니다
기함수 두 개를 곱하면 대칭구간 적분은 자동으로 0이 아니다
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1/x의 정적분을 밑2 로그로 계산하면 상수배가 빠진다
1/x의 정적분을 밑2 로그로 계산하면 상수배가 빠진다
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2n항까지의 합은 n항 합의 두 배가 아니다
2n항까지의 합은 n항 합의 두 배가 아니다
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제곱한 수열이 수렴해도 원래 수열은 수렴하지 않을 수 있다
제곱한 수열이 수렴해도 원래 수열은 수렴하지 않을 수 있다
