주기가 다른 두 항의 합에 짧은 주기를 그대로 쓰면 안 된다
주기가 다른 두 항의 합에 짧은 주기를 그대로 쓰면 안 된다
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오개념과 반례
한 예의 일치, 잘못된 일반화, 성질의 혼동 등을 직접 반례와 비교로 바로잡는 글.
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밑이 큰 지수함수라도 음수 입력에서는 더 작다
밑이 큰 지수함수라도 음수 입력에서는 더 작다
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일대일 대응이라고 항상 증가나 감소하는 것은 아니다
실수 전체에서 f(0)=1, f(1)=0이고 나머지는 f(x)=x인 함수는 일대일 대응입니다. 0,1은 증가를, 2,3은 감소를 반박합니다. 일대일 대응과 증가·감소 조건을 분리하세요.
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점근선과 만나는 그래프도 있다
1+x/(x²+1)의 점근선은 y=1인데 그래프는 (0,1)을 지납니다. x→±∞에서의 극한과 유한한 입력 0에서의 함수값은 함께 성립합니다. 점근선을 만날 수 없다는 답을 검토해 보세요.
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합성함수가 항상 0이어도 바깥함수 전체가 0인 것은 아니다
f(x)=x², g(t)=0(t≥0), t²(t<0)이면 g(f(x))는 늘 0입니다. 하지만 g(−1)=1입니다. 합성이 g의 전체 정의역이 아니라 f의 치역 [0,∞)만 조사했다는 점을 확인하세요.
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음수의 제곱근을 곱할 때 익숙한 공식의 조건부터 읽는다
√(−4)√(−9)=(2i)(3i)=−6인데 √36=6입니다. √a√b=√(ab)는 a, b가 0 이상인 실수일 때 적용합니다. 익숙한 공식을 복소수에 옮기기 전에 조건을 읽어 보세요.
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곱을 미분해 0이 나와도 각 도함수는 0이 아닐 수 있다
f(x)=1+x, g(x)=1−x이면 (fg)′(0)=0이지만 f′(0)=1, g′(0)=−1입니다. 두 항의 합이 0이라는 결과로 각 항이 0이라고 판단한 답안을 비교해 보세요.
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계속 증가하는 함수가 음수인 구간도 있다
계속 증가하는 함수가 음수인 구간도 있다
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좌우 두 함수값의 차이가 0이어도 미분계수는 없을 수 있다
극한의 계산값과 미분계수 정의에 맞는 식인지를 각각 확인한다.
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함수가 미분가능해도 도함수가 그 점에서 연속일 필요는 없다
미분가능에서 원래 함수의 연속과 도함수의 연속을 구별하는 심화 반례.
